April 19th, 2011

qr

Угломания: еще несколько внешне похожих задач

Задача 1. О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AC=AD, AB=BD, а угол BDC вдвое больше угла BAC. Чему равен угол BCA?

Задача 2. AC=CD, AB=AD, угол ACD вдвое больше ACB. Чему равен угол между диагоналями?
(Мне сейчас кажется, что это не одна картинка, а две разных, и у этих картинок
есть альтернативные формулировки последнего условия. Для одной картинки
можно написать "ВDC вдвое больше DBC", а для другой - "BDC вдвое больше BAC".
Ответ оказывается одинаковым для обеих картинок.)

Задача 3. AC=AD, AB=BC, угол CBD в 1.5 раза больше угла CAD. Чему равен угол ADB?

Запись открыта для френдов (см. License agreement моего журнала), комменты скрыты.
qr

Угломания: простые рецепты

Меня тут уже успели спросить, как придумывать такие задачи, а еще успели предложить сгенерировать возможные задачи на компьютере. Ну, про генерацию это отдельная тема, а вот рецепты придумывания есть, и притом они очень просты.

Судите сами.

Берется треугольник ABC с углом A = 30o. (Ничего другого от этого треугольника не нужно.) Отразим его относительно сторон AC и BC. Благодаря тому, что мы взяли именно такой угол A, случилось маленькое чудо - треугольник ABB' оказался не просто равнобедренным, но равносторонним. А так как при этом еще и A'B=AB, то имеем еще одно маленькое чудо: B - центр окружности, описанной около треугольника A'AB'. А это означает, что мы сразу же знаем величину угла AA'B': она равна половине центрального угла, т.е. все тем же 30o. Ну и угол AB'A' тоже знаем: он тоже равен половине центрального, т.е. 180-ABC = ACB + BAC = ACB + 30. Так что если обозначить ACB=α то все углы на этой картинке выражаются через α

Ну а теперь сотрём все "лишнее" - точку B, окружность, отрезки AB, A'B и BC... То, что у нас получилось в результате, является новой (по крайней мере, мне ранее не встречавщейся) "угломанской" картинкой (вершины на ней уже переобозначены).

Если же изначально рассматривать не треугольник ABC, а треугольник EBC с углом E=150o, то те же самые действия приводят к еще одной новой картинке:

И надо сказать, что построение дополнительной точки B в каждом из этих рисунков - это не самый очевидный шаг...